对于实数集或有理数集，我们容易将其自身到自身的双射（一一对应）分解成两个双射之和.  比如，对于有理数集 Q 上的双射 f，可以表示成 f = (2f) + (-f)，容易验证 2f 和 -f 都是 Q 上的双射.  但是对于整数集 Z，这种性质却并非显而易见，我们很难将 Z 到 Z 的双射 f 简单分解成诸如 2f - f 之类的形式，因为很难保证分解中的两个新的映射都为满射.  Q 和 Z 之间的鸿沟来源于：Q 或 R 都是“稠密”的，任意两个元素之间都可找到无限个元素；而 Z 则是“离散的”，任意两个整数之间不存在无限多的整数.  那么整数集到底是否具有这种性质呢？ 我们先猜想它有，然后试图证明.

命题：对 Z 到 Z 的任一双射 f，都存在 Z 到 Z 的双射 f1 和 f2，满足 f = f1 + f2.

从前面的讨论可知，要直接将 f1 和 f2 表示成 f 的函数是很困难的，所以还是得由我们“具体地”指定它们将 1 映射成什么，将 2 映射成什么……  不过要想直接对所有整数指定映像依然很困难，我们不妨先从有限的情形开始探究，以获得对该问题足够充分的认识.

注记：下面为方便讨论，我们将闭区间 [-k, k] （k 为正整数）上的所有整数所成之集直接记作 [-k, k].

首先探究一下，有没可能将 [-k, k] 上的各个整数表示成另两个整数之和，即 a = b + c，而 a, b, c 都恰好取遍 [-k, k].  比如 k = 1 时就可以，因为 0 = 1 + (-1), 1 = 0 + 1, (-1) = (-1) + 0.  事实上多做尝试就可发现，对任意正整数 k，都容易得到一种表示：

1 = -(k-1) + k,  2 = -(k-3) + (k-1), … ,  k = (k-1) + 1
-k = -k + 0,  -(k-1) = -(k-2) + (-1), … ,  -1 = (k-2) + (-(k-1)),  0 = k + (-k)

现在我们可以断定，[-k, k] 上的双射都可以分解成 [-k, k] 上的两个双射之和，这是我们迈出的第一步.  但是，尽管 k 可以任意大，可它总是有限的，而且不存在什么取极限的过程，怎么继续前进呢？

根据经验，我们试图将 k = 1, 2, … 的各种分解合并起来，使之得到整个 Z 上的分解.  可是 k 取不同值时得到的分解似乎并没多少联系，比如我们通过以上方法得到 k = 2 时的分解，再得到 k = 3 时的分解，它并不是 k = 2 的情形的扩充，因为它把 k = 2 时得到的分解又打乱了.  我们来反省一下，如果换种分解方法，使它具有可扩充性，即如果我们获得了 k = n 时的分解，则能够得到 k > n 时的分解，新的分解保持 [-n, n] 上的旧有分解不变动，那我们就相当于“归纳地获得了” Z 上的分解.

所以下面我们集中精力寻找这种可扩充的分解方法.

首先，我们已经知道 [-k, k] 上的整数可在自身范围内分解，那么 [-k + (2k+1), k + (2k+1)] = [k+1, 3k+1] 上的整数自然也可以分解成 [-k + (-1) (2k+1), k + (-1) (2k+1)] 上的整数与 [-k + 2 (2k+1), k + 2 (2k+1) ] 上的整数之和，因为只要将原先的分解 a = b + c 恒等变换成 a + (2k+1) = ( b - (2k+1) ) + ( c + 2 (2k+1) ) 即可.

注记：下面为方便讨论，我们将“ [-k, k] 上的整数能分解为 [-k, k] 上的整数与 [-k, k] 上的整数之和”这一事实表示成  [-k, k] = [-k, k] + [-k, k].

根据上面的讨论我们事实上还知道 [-k + aL, k + aL] = [-k + bL, k + bL] + [-k + cL, k + cL]，其中 a, b, c 皆为整数，且 a = b + c，而  L = 2k+1 为 [-k, k] 上的整数个数.  现在，请问有洞察力的人们，这意味着什么？ a, b, c 这三个系数起着对区间 [-k, k] 平移的作用，通过平移，更多的整数能够得到分解，而分解它们所用的整数区间由 b 和 c 决定.  我们显然能够设想，如果 b 和 c 取得恰当，那些区间将填充成一个更大的区间 [-X, X].  事实上，我们又回到了整数的分解问题上了！对于这里的 a，我们完全可以让它们在 [-k, k] 上取，而 b 和 c 可以按照原来的分解方式选取.

打个比方，如果我们有了分解 [-1, 1] = [-1, 1] + [-1, 1]，我们根据其中的分解法则 0 = 1 + (-1), 1 = 0 + 1, (-1) = (-1) + 0，得到新的一系列分解：

[-1 + 0, 1 + 0] = [-1 + 3, 1 + 3] + [-1 - 3, 1 - 3]，对应于旧有分解 0 = 1 + (-1)
[-1 + 3, 1 + 3] = [-1 + 0, 1 + 0] + [-1 + 3, 1 + 3]，对应于旧有分解 1 = 0 + 1
[-1 - 3, 1 - 3] = [-1 - 3, 1 - 3] + [-1 + 0, 1 + 0]，对应于旧有分解 (-1) = (-1) + 0

于是得到了 [-4, 4] = [-4, 4] + [-4, 4].  这是我们迈出的一大步.  现在只剩一个问题没有解决，那就是如何令旧有分解部分保持不动，比如上例中的 [-1, 1] 依然能够表示为 [-1, 1] + [-1, 1]，而不是当前的 [-1 + 3, 1 + 3] + [-1 - 3, 1 - 3].  啊哈，机灵的你一定想到了，如果最初给出的分解满足 0 = 0 + 0，它就能做到.

嗨，不要高兴得太早，万一任何分解 [-k, k] = [-k, k] + [-k, k] 都不含 0 = 0 + 0，那我们岂不全功尽弃？ 是的，这是个问题，我们对此有两种选择：一是证明“任何分解 [-k, k] = [-k, k] + [-k, k] 都不含 0 = 0 + 0”，于是我们得到一个新的定理，而原先的问题得另寻出路；二是我们找出反例，证明存在某个正整数 k，其分解中可以有 0 = 0 + 0.  不过，对于一个猜想，我们多数情况下总是先从寻找反例开始，所以我首先选择了后者，并且很幸运，在计算机的帮助下找到了最小的反例 k = 3，如下：

0 = 0 + 0,
1 = (-2) + 3,   -1 = 2 + (-3)
2 = 3 + (- 1),   -2 = (-3) + 1
3 = 1 + 2,   -3 = (-1) + (-2)

接下来该怎么办大家都应该很清楚了，此处省略若干字……

注记： 虽然这个问题被我们解决了，但是探索过程中又产生了一个新的问题——是否对任意正整数 k > 2，都有包含 0 = 0 + 0  的分解 [-k, k] = [-k, k] + [-k, k] ？由于本人在打工，时间、精力有限，敬请路过的有闲有智的同学帮助解答，不吝感谢.

国庆长假，回到家乡，再返回城市，在蜗居的出租房里探头一望，秋天就站在眼前了。

怎么回事？我明明记得自己是在六天前钻进回乡的时光机的，那时还是有着流汗的欲望的夏季，为什么六天后等我返回城市，秋天就霸占了季节，而且那样无声无息，就像城市的霓虹霸占了我对故乡的记忆。回乡，于我来说太像时光旅行了，我怀着忐忑的心情来到家门口，然后读取一段记忆，接着又带着迷惘的神情离开，回到蜗居的城市，并且只在某些随机的深夜或某些随机的片刻，将读取的记忆播放若干帧，等待双目中润滑液的充盈，或者来不及充盈，等待一声叹息，或来不及叹息。

为什么家乡对我来说如此难以接近？因为那里还坐着一个老人，他用生命的最后十几年种了一棵不会说话的树，这棵树无法遮风挡雨，而老人依然想用他仅存的一点衰弱的精力去浇灌它。这棵逃离故乡的树就是我，感染了那个老人病毒般的慈爱，便想用失忆来对抗，可是终归无法根除这些肆虐的病毒。一遇到那个老人，幼年的记忆就像刺眼的阳光让我不安，要知道，让一个善良的人回忆一个比你衰弱的人如何怀着一尘不染的赤诚来呵护你，那是种无法名状的痛苦，就像，就像我此刻的心情。

然而问题的根源还不在此，而在于一个生命的绽放无法与一个生命的收敛并行不悖。我知道，他的爱即将回归自然，而我的自私也正茁壮成长。

f(x) 是区间 I 上的可微函数，满足微分方程 f’(x) = g( f(x) )，其中 g 在 f 的值域上有定义. 证明 f 一定是单调（不一定严格）函数.

——————————————-

分析：

刚碰到这个问题时，一点思路也没有，因为条件很苛刻，g 似乎可以是任何函数，而 f 连其导数的连续性也无法保证，于是，题中看似至关重要的微分方程却不允许我们做有效的代数或微积分等运算，因此就很难获得 f 的某种合适的表达式，从而，直接的、整体的方法很难让我们前进一步.

所以我们转向 f 的局部性质，并试图探究 f 为何一定要单调. 是的，反复询问自己：f 为什么必须单调呢？如果不单调会导致哪些不和谐呢？我们不妨去寻找这些不和谐的东西.

已知 f 是可微的，于是它是连续的，连续函数的性质比较多，我们不妨放低一点身段，就先站在连续性的基础上去观察. 如果 f 不单调，那就呈现波动性，容易吸引我们眼球的是那些特殊的地方，比如极值点或最值点，显然，在区间内部有极值点，而极值点两侧直观上看是一侧递增一侧递减. 哇靠！这与 f’(x) 有关，马上回头去审视那个微分方程：两侧导数一正一负，它们不会相等，而 f(x) 可以在两侧取到相等点，这不就是一个不和谐因素吗？是的，值得仔细分析.

不妨考虑极大值点的微小邻域，我们的目标是分别在左右两侧各找一点，它们的函数值相等，而导数却不相等. 从直观上看，极大值点附近形成一个“山峰”，我们期望左侧是递增的，而右侧是递减的. 可是我们有点麻烦，因为有种连续函数，它可以在极值点附近无限振荡，于是形成无限个“山峰”，这使我们难以找到一段单调区间.

面对障碍时，我们需要重新回顾我们的目标和先前的基础，或许是我们把条件设得太低了，或许是我们把目标定得太高了. 现在的情况恰好是后者，我们不一定非得寻找一段单调的区间，这个目标只是引导我们进入当前境况的直观图景，而我们实质上仅需要两个孤立的点，它们导数不相等. 又由于我们难以得到具体的导数值，所以为使导数不相等，我们不妨尝试通过某个临界值将导数值分开成两类，结合直观来看，就是以 0 为临界，在极值点右侧找一个导数为负的点，在极值点左侧找一个导数非负的点，而且，可以先把右侧的点选定，再在左侧寻找同它函数值相等的导数非负的点.

假设左侧不存在那样的点呢？不存在的话，说明同一函数值对应的所有左侧点都是导数为负的. 那又如何？这些点从左到右排列，且始终不会超过极值点，于是它们收敛！那个收敛点太独特了，我们没有理由不去看个究竟，根据连续函数的定义，该收敛点的函数值也与其它点相同，所以它不可能是极值点（极值点的函数值还要大一些），所以它仍然在极值点左侧，而它的导数是负的，容易发现它与极值点之间还有一个与它同函数值的点. 啊哈！这不与单调点列的极限点身份相矛盾吗？！

好了，我们已经找到证明的诀窍了，接下来就是拆掉思维的脚手架，写出一个清晰的“证明”来.

—————————————————-

证明：

首先，由于 f(x) 的可微性，它是连续的. 假设 f(x) 不单调，于是在区间 I 的内部存在 f(x) 的极值点 x0，不妨假定它为极大值点（对极小值点的论证没有本质上的不同）. 极大值点将区间分为两部分，为叙述方便，我们称之为左侧和右侧.

显然，左、右两侧分别存在点 x1, x2，满足 f(x1) = f(x2). 容易证明，如果 f’(x2) >= 0，则在区间 (x0, x2) 中存在一点 x3，满足 f’(x3) < 0；而且根据 f(x) 的介值性，在区间 (x1, x0) 中相应地存在一点 x4，满足 f(x3) = f(x4).

根据以上结论，我们在右侧找到一点 x1，满足 f’(x1) < 0，然后在左侧考虑点集 S = { x < x0 | f(x) = f(x1) }，它非空并且有界，于是存在上确界 x2 = sup(S).

根据 f(x) 的连续性，容易证明 f(x2) = f(x1) < f(x0)，故 x2 < x0；又根据条件中的微分方程，f’(x2) = f’(x1) < 0，从而在区间 (x2, x0) 中存在点 x3，满足 f(x3) < f(x2).

由 f(x) 的介值性，在区间 (x3, x0) 中存在点 x4，满足 f(x3) < f(x4) = f(x2) = f(x1) < f(x0). 故 x4 属于集合 S，但是 x4 > x3 > x2 = sup(S)，与上确界的定义相矛盾. Q.E.D.

爬满目标函数的酒杯

污染了杯中的美酒

已经排序的灵魂

在餐桌上对着台词

从数学上看

这是在改变序的定义

一杯酒包含太多的微分方程

我始终无法求解

在公交上自责

没能劝阻一名酒后驾车者

走斑马线时

须格外留意牛顿力学

别信那个传说，银河架不起鹊桥。

比光速更快的，是静止的思念。

一年与一亿年，都是同一个坚守；

时间并不能检验什么，

恰恰是单调的周期，

摧垮了多少海誓山盟。

我们流着彩色的汁液，却吃着黑白的虫子，是谁规定了我们的饮食习惯？

我们拧好发条，然后规律地报时，永远走不出十二个刻度围成的圆。

上帝的钥匙藏在哪里，可以打开另一空间的门？

住在九十楼的眼睛，以及住在地下室的眼睛，都看不到；

流着黑白的汁液，吃着彩色的虫子，据说就能让视力超越盲点。

晚归的人，是我杯中的酵母，他们在酿着美酒。

赤膊的铁锹，还在挑逗着路肩；盛夏的车辆像田里的青蛙，

欢快地吞噬着，那些流着汁液的动物，在路灯下的影。

每一幢大厦都有基因，但无法解码；每一颗石子都怀着细胞的梦。

斑马线已弹奏了很多曲，藏在地窖的老酒，终究是要被启封。

叶公和蒋夫子小时候都对龙情有独钟，常常不顾玩耍，孜孜于探究与龙相关的事物。叶公的天资和家境都比蒋夫子好，其才华很早就引起了大人们的关注，而他父母也特地请来龙学专家督导他。那位专家每天都会要求叶公背诵《龙典》三个时辰，其余时间则是复习以前所学知识。不久，叶公成了龙学权威，被很多龙学院和电视节目请去做报告。

再说蒋夫子，一直按照自己的兴趣探究龙的习性，默默无闻。等他到了五十岁左右，终于感到豁然开朗。有一天，蒋夫子依据对龙的出没规律的掌握，亲眼见到了一头巨龙，并拍下了照片。他把照片寄给叶公，希望获得特别的指点。叶公看罢照片，回复说：我早已对真龙失去了兴趣，你把它的出没规律写成论文寄来就行了。蒋夫子非常失望，便独自搬到龙潭边居住，终生与龙为伴。

据说后来叶公写出了龙学史上的名著《龙性论》，而他至死都没看到过真龙。

蒋夫子坐船出远门，为赶时髦，特地佩了把陆离长剑，好不得意。不料船有不测颠簸，其佩剑一不小心就掉进了湍急的江水中，同船乘客也快把下巴给喊掉了：“剑哪！剑哪！”

夫子立刻在船舷上划了个杠杠，曰：“是吾剑之所从坠也～～” 智商高的乘客瞬间就明白了，都来给夫子上课：“哎，你就那刻舟求剑的傻子呀？你连辩证法都不懂呀？船相对于剑那是运动的，你咋就可以静止地，片面地，看问题呢！世界上的万事万物，那都是不断地发展变化的，我们想问题，办事情，都应当考虑到这种变化嘛，我们都得适合于这种变化嘛，你说对不对呀？哎，你说对不对呀！”

蒋夫子不语，等船靠岸，从标有记号处跃入水中，一会功夫就把剑给捞上来了，众人惊愕。夫子捋一捋性感的湿胡子，半闭着眼，缓缓说道：“你们咋就敢确定剑不会跟着船一起运动呢？俺那剑柄可是用磁铁做的～～” 众人茫然。夫子又对船上的孩子们说：“小朋友们，你们知道这则寓言故事说明了一个什么道理吗？” 齐声答曰：“这～则～寓～言～说～明～了～剑～柄～是～可～以～用～磁～铁～做～的～～” 夫子点头：“很好，回去把这个道理抄写一百遍。”

我躺在草地上，仰望见一只不知名的鸟，站在堤岸上沉思，好像孔子。

水声比阳光更无声，白鹭从头顶飞过，好像老子。

垂钓者不是姜子牙，而是一只猫，鱼钩比欲望更闪亮，美得如同生活。

谁在唱蝉的高音，我变成了一只耳朵，长在果树上，

猴子摘去吃了，像小孩一样欢笑。

午后突来一场阵雨，河神喝醉了酒，用葡萄叶载我到杯中听琴。

遇见了毕达哥拉斯，我们在鱼肚里喝咖啡，桌子摆在开了鳞片的窗口。

窗前卧着一只乌龟，像庄周般睡着了，蝴蝶停在我的发梢。